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题目描述 给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数。 要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n))。 示例： 1234567输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]输出：2.00000解释：合并数组 = [1,2,3]，中位数 2输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]输出：2.50000解释：合并数组 = [1,2,3,4]，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5 解题思路 这道题乍看之下，似乎可以通过合并两个数组后找出中位数来解决，但这样做的时间复杂度是 O(m+n)，而题目要求 O(log(m+n))。一看到对数级的时间复杂度，我们应该想到二分查找。 核心思想 本题的核心思想是将两个数组进行虚拟切分，使得： 左半部分的元素个数等于右半部分（或者多一个，当总数为奇数时） 左半部分的所有元素都小于或等于右半部分的所有元素 找到这样的切分后，中位数就可以轻松计算出来了。 假设有两个数组： 12nums1: [a1, a2, a3, a4, a5]nums2: [b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7] 我们的目标是在这两个数组中找出一个切分位置，将所有元素分为数量相等（或左侧多一个）的两部分： 12左半部分：[a1, a2, a3 | b1, b2, b3, b4]右半部分：[a4, a5 | b5, b6, b7] 当左半部分的最大值小于或等于右半部分的最小值时，我们就找到了正确的切分位置。中位数可以根据总元素个数的奇偶性计算： 元素总数为奇数：中位数 = 左半部分的最大值 元素总数为偶数：中位数 = (左半部分的最大值 + 右半部分的最小值) / 2 实现的关键点解析 1. 切分点的含义 重要的是，mid表示的是元素间的切分位置，而不是具体的元素。例如： 对于数组 [1, 3, 5, 7, 9]： mid=0 表示在1之前切分：[] | [1, 3, 5, 7, 9] mid=3 表示在7之前切分：[1, 3, 5] | [7, 9] mid=5 表示在所有元素之后切分：[1, 3, 5, 7, 9] | [] 这就是为什么right初始化为len1而不是len1-1，因为我们需要考虑将所有元素都放在左半部分的情况。 2. 为什么使用 left <= right 而不是 left < right？ 在这个二分查找中，使用 left <= right 是必要的。当搜索区间收缩到只有一个元素时（即 left == right），这个元素可能就是正确的切分点。如果使用 left < right，循环会提前退出，可能会错过正确解。 特别是当nums1只有一个元素时，如果使用 left < right，算法可能无法正确处理这种情况。 3. 为什么只检查 mid1 < len1 和 mid1 > 0，不检查 mid2 的边界？ 这是一个很好的问题！算法中我们检查了： 12345if mid1 < len1 && nums1[mid1] < nums2[mid2-1] { // ...} else if mid1 > 0 && nums1[mid1-1] > nums2[mid2] { // ...} 不需要检查mid2的边界，原因如下： mid2的计算保证了某些边界条件：mid2 = halfLen - mid1，其中halfLen = (len1+len2+1)/2 mid2的范围是有保证的： 当mid1增大时，mid2减小，反之亦然 我们知道 0 <= mid1 <= len1，因此 (halfLen-len1) <= mid2 <= halfLen 算法保证了mid2的合理性： 我们总是对较短的数组进行二分（通过交换nums1和nums2确保len1 <= len2） 这确保了halfLen-len1 >= 0，即mid2 >= 0 同样，由于halfLen <= (len1+len2+1)/2 <= (len2+len2+1)/2，可以推导出mid2 <= len2 因此，对mid1进行边界检查已经足够，不需要显式检查mid2的边界。这是算法设计的巧妙之处。 4. 为什么halfLength计算要加1？ 在代码中，我们看到halfLength的计算使用了： 1halfLength := (len1+len2+1)>>1 // 左半部分应该包含的元素个数 这里的+1非常关键，它确保了在奇数长度的情况下，左半部分会多包含一个元素。让我们分析不同情况： 情况1：总长度为偶数 假设len1 + len2 = 8 使用(8) >> 1 = 4，左边和右边各4个元素 使用(8 + 1) >> 1 = 4，结果相同，左右各4个元素 情况2：总长度为奇数 假设len1 + len2 = 7 使用(7) >> 1 = 3，左边3个元素，右边4个元素 使用(7 + 1) >> 1 = 4，左边4个元素，右边3个元素 在处理中位数时，我们的代码逻辑是： 1234567// 如果两个数组的总长度为奇数，中位数就是左半部分的最大值if (len1+len2)%2 == 1 { return float64(maxLeft)}// 总长度为偶数时，中位数是左半部分最大值和右半部分最小值的平均值return float64(maxLeft + minRight) / 2.0 这里的算法设计假设： 奇数长度时，中位数是左半部分的最大值 偶数长度时，需要计算左半部分最大值和右半部分最小值的平均值 为了使这个逻辑正确工作，在奇数长度情况下，我们必须确保中位数在左半部分。例如，对于总长度7的数组，中位数是第4个元素，所以左半部分必须包含4个元素。 这就是为什么要使用(len1+len2+1)>>1而不是(len1+len2)>>1的原因：加上这个+1确保了在奇数长度情况下，左半部分会多包含一个元素，从而包含了中位数，使得算法的判断逻辑能够正确工作。 完整代码实现 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108/** * 寻找两个正序数组的中位数 * @param nums1 第一个有序数组 * @param nums2 第二个有序数组 * @return 两个数组合并后的中位数 */func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 { // 获取两个数组的长度 len1, len2 := len(nums1), len(nums2) // 优化：始终对较短的数组进行二分查找，减少搜索空间 // 如果 nums1 比 nums2 长，则交换两个数组 if len1 > len2 { return findMedianSortedArrays(nums2, nums1) } // 二分查找的边界 left := 0 // 二分查找的左边界，表示nums1可能的最小切分点 right := len1 // 二分查找的右边界，表示nums1可能的最大切分点 halfLen := (len1+len2+1)/2 // 左半部分应该包含的元素个数（包括奇数情况） // 在nums1上进行二分查找，寻找合适的切分点 for left <= right { // 计算当前nums1的切分点（将前mid1个元素放入左半部分） mid1 := (left + right) >> 1 // 使用位运算提高效率，等价于 (left + right) / 2 // 根据mid1计算nums2的切分点，确保左半部分总共有halfLen个元素 mid2 := halfLen - mid1 // 第一种情况：nums1的切分点太小，左半部分需要更多元素 // 检查：如果mid1元素小于nums2的mid2-1元素，说明mid1需要右移 if mid1 < len1 && nums1[mid1] < nums2[mid2-1] { // mid1太小，需要增加，向右移动left指针 left = mid1 + 1 } // 第二种情况：nums1的切分点太大，左半部分需要减少元素 // 检查：如果mid1-1元素大于nums2的mid2元素，说明mid1需要左移 else if mid1 > 0 && nums1[mid1-1] > nums2[mid2] { // mid1太大，需要减少，向左移动right指针 right = mid1 - 1 } // 找到了合适的切分点：左半部分的最大值小于等于右半部分的最小值 else { // 计算左半部分的最大值 var maxLeft int // 处理边界情况：当mid1=0时，nums1的左半部分为空 if mid1 == 0 { maxLeft = nums2[mid2-1] // 左半部分最大值来自nums2 } // 处理边界情况：当mid2=0时，nums2的左半部分为空 else if mid2 == 0 { maxLeft = nums1[mid1-1] // 左半部分最大值来自nums1 } // 一般情况：取nums1和nums2左半部分的最大值 else { maxLeft = max(nums1[mid1-1], nums2[mid2-1]) } // 如果两个数组的总长度为奇数，直接返回左半部分的最大值 if (len1+len2) % 2 == 1 { return float64(maxLeft) } // 计算右半部分的最小值（偶数情况下需要） var minRight int // 处理边界情况：当mid1=len1时，nums1的右半部分为空 if mid1 == len1 { minRight = nums2[mid2] // 右半部分最小值来自nums2 } // 处理边界情况：当mid2=len2时，nums2的右半部分为空 else if mid2 == len2 { minRight = nums1[mid1] // 右半部分最小值来自nums1 } // 一般情况：取nums1和nums2右半部分的最小值 else { minRight = min(nums1[mid1], nums2[mid2]) } // 总长度为偶数时，中位数是左半部分最大值和右半部分最小值的平均值 return float64(maxLeft + minRight) / 2.0 } } // 理论上不会执行到这里，添加返回值以满足编译要求 return 0.0}/** * 返回两个整数中的较大值 */func max(a, b int) int { if a > b ...